Suites convergentes

Limites

1. Démontrer que     $2^n\gtn^2, \foralln\in\mathbb{N}, n\geq5$
   
   
   Récurrence
   
   Récurrence:
   $n=5$:
   $32=2^5>5^2=25$
   $n\ton+1$:
   $2^{n+1}=2\cdot2^n>2\cdotn^2\gt(n+1)^2 $
   On se rendra compte que la dernière inégalité est vraie pour $n\geq5$ en résolvant l'inéquation $2n^2\gt(n+1)^2$ qui a la solution $\rbrack-\infty,1-\sqrt{2}\lbrack\cup\rbrack1+\sqrt{2},\infty\lbrack$ .
2. Démontrer ensuite que ${}_{n\to\infty}^{lim}\frac{n}{2^n}=0$
   
   Utiliser la propriété précédente
   
   Pour $n\geq5$:
   $0\lt\frac{n}{2^n}\lt\frac{n}{n^2}~~\to~~0$
   donc: $\frac{n}{2^n}\to~~0~~$