Montrer que la suite $u_n=\sqrt{4n^2+5n+2}-2n-\frac{5}{4}$ converge
Mettre sous forme fractionnaire en multipliant par le conjugé.
$u_n=\sqrt{4n^2+5n+2}-2n-\frac{5}{4}=\frac{7}{16}\frac{1}{(\sqrt{4n^2+5n+2}+2n+\frac{5}{4})}\to 0 $
Pour un $\epsilon\gt0$ donné, chercher $N \in\mathbb{N}^*$, tel que $\foralln\gtN$ on ait: $|u_n|\lt\epsilon$
$ \frac{7}{16}\lt1$, minimiser le dénominateur
$ |u_n|=|\frac{7}{16}\frac{1}{(\sqrt{4n^2+5n+2}+2n+\frac{5}{4})}|\lt|1\cdot\frac{1}{(\sqrt{4n^2+5n+2}+2n+\frac{5}{4})}|\lt|1\cdot\frac{1}{\sqrt{4n^2}}|=\frac{1}{2n}\lt\epsilon$
ce qui est le cas pour $n\gtN:=E(\frac{1}{2\epsilon})+1$ (E = partie entière)